4F光學(xué)系統(tǒng)是典型的濾波系統(tǒng)之一?？梢岳霉鈱W(xué)傅立葉變換技術(shù)、光學(xué)相干技術(shù)進(jìn)行二維處理，實(shí)現(xiàn)圖像加減、圖像微分等。

如下圖所示，4F光學(xué)系統(tǒng)由物平面、傅立葉透鏡圖片、傅立葉透鏡圖片和像平面組成。

其中圖片和圖片的焦距均為ｆ，物平面到圖片之間的距離為ｆ，圖片與圖片之間的距離為 ２ｆ，圖片到像平面之間的距離為ｆ。

4F系統(tǒng)對(duì)光場(chǎng)的調(diào)制

根據(jù)傅立葉分析法，可以將光場(chǎng) ｆ(ｘ，ｙ)，展開為無數(shù)個(gè)復(fù)函數(shù)的疊加 :

其中ｆ ｘ、ｆ ｙ 分別為 ｘ、ｙ 方向的空間頻率，Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 稱為 ｆ(ｘ，ｙ) 的空間頻譜，代表空間頻率(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 所占的比例。Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 與ｆ(ｘ，ｙ) 互為傅立葉變換關(guān)系。

透鏡可以作為傅立葉變換器，具有將光場(chǎng)復(fù)振幅二維傅立葉變換的功能，實(shí)現(xiàn)光波相位空間分布的調(diào)制。

設(shè)有焦距為ｆ的正透鏡，波長(zhǎng)為λ的平行光照射，在其前頻譜面上放置復(fù)振幅透過率為ｆ(ｘ，ｙ) 的物，經(jīng)過傅立葉變換可以在透鏡的后頻譜面上得到物的頻譜 Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ)。

因此，Ｆ(ｆ ｘ，ｆ ｙ) 是空間頻率圖片的復(fù)振幅。

由于圖片，因此當(dāng)透鏡的焦距一定時(shí)，頻譜上中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)零頻，離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)物的頻率越高的成分。

在4F系統(tǒng)中，在輸入面上放置光場(chǎng)分布為 Ｅ１(ｘ１，ｙ１ ) 的物體，經(jīng)過傅立葉透鏡Ｌ１，由傅立葉變換可知在頻譜面上得到物的頻譜函數(shù)。

在頻譜面上得到物體 Ｅ１ 的空間頻譜，頻標(biāo)為圖片，在頻譜面上放置空間濾波器，再經(jīng)過透鏡 Ｌ２ 變換后，光場(chǎng)分布為:

因此像面上的圖像與入射圖像呈中心對(duì)稱。

4F系統(tǒng)的圖像微分

利用4F系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)圖像的微分，由(４) 式可以得到入射光場(chǎng)經(jīng)過4F系統(tǒng)的個(gè)傅立葉透鏡Ｌ１后頻譜面上的光強(qiáng)分布。

沒加濾波器時(shí)，傅立葉透鏡 Ｌ２ 對(duì)頻譜面上頻譜分布進(jìn)行逆傅立葉變換，得到像面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布:

由傅立葉微商定理得:

若在頻譜面上加一個(gè)濾波器，其透射系數(shù)為:

濾波器的振幅透過率只要滿足正比于圖片，就通過圖像的微分達(dá)到像的邊緣增強(qiáng)的目的。

在一塊全息干板上，將兩套空間頻率相差不大的光柵沿光柵線平行方向重疊在一起，形成復(fù)合光柵。

在本實(shí)驗(yàn)中，復(fù)合光柵 ｆ ０ ＝ １００ ｓ/ ｍｍ，ｆ′０ ＝ １０２ ｓ/ ｍｍ，復(fù)合光柵能產(chǎn)生兩個(gè)相互錯(cuò)位的像，當(dāng)兩個(gè)像的相位差為 π 時(shí)，像的重疊部分相消僅留下邊緣部分，從而達(dá)到圖像邊緣增強(qiáng)的效果。

設(shè)復(fù)合光柵初始位置的振幅透過率為: